Свойства перпендикулярных векторов

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов - фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры? Скалярным произведением двух векторов называется число скалярравное произведению длин свойства перпендикулярных векторов векторов на косинус угла между ними. Согласно определению, формула выглядит так: свойства перпендикулярных векторов Если в задаче и длины векторов, и угол между ними свойства перпендикулярных векторов "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так: Пример 1. Найтиесли Решение: Сформулируем другое определение скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1. Скалярным произведением двух векторов называется число скалярравное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формулы выглядят так: 2 или 3 Частое применение скалярного произведения векторов Скалярное произведение двух векторов используется для расчёта работы постоянной силы. Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна. Алгебраические свойства скалярного произведения векторов переместительное свойство сочетательное относительно числового множителя свойство распределительное относительно суммы векторов свойствоесли - ненулевой вектор, иесли - нулевой вектор. Если два вектора и определены своими декартовыми прямоугольными координатами ито скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т. Геометрические свойства скалярного произведения векторов 1. Два вектора называют ортогональными, если скалярное произведение этих векторов равно нулю, т. Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов. Два ненулевых вектора составляют острый угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно, а тупой угол - тогда и только тогда, когда их скалярное произведение свойства перпендикулярных векторов. Доказать, что вектор ортогонален перпендикулярен вектору Решение. Векторы ортогональны перпендикулярныесли скалярное произведение этих векторов равно свойства перпендикулярных векторов. Перемножим векторы и как многочлены:. Итак, ортогональность перпендикулярность векторов доказана. Даны длины двух векторов и угол между ними:. Определить, при каком значении векторы и ортогональны перпендикулярны. Векторы ортогональны перпендикулярныесли свойства перпендикулярных векторов произведение этих векторов равно нулю. Перемножим векторы по свойства перпендикулярных векторов умножения многочленов:. Теперь вычислим каждое слагаемое:. Составим уравнение равенство скалярного произведения векторов нулюприведём подобные члены и решим уравнение: Пример 4. Вычислить скалярные произведения всех пар данных свойства перпендикулярных векторов. Какой угол острый, прямой, тупой образуют эти пары векторов? Векторы даны в координатах, поэтому скалярные произведения векторов будем вычислять путём сложения произведений соответствующих координат. Скалярное произведение векторов отрицательно, поэтому эти векторы образуют тупой угол. Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол. Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти свойства перпендикулярных векторов образуют острый угол. Скалярное произведение векторов равно нулю, поэтому эти векторы свойства перпендикулярных векторов прямой угол. Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол. Скалярное произведение векторов положительно, поэтому эти векторы образуют острый угол. Экономический смысл скалярного произведения векторов В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p на вектор объёма проданных товаров x. Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных свойства перпендикулярных векторов x при ценах p. Чтобы выразить скалярное произведение 1 в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. По определению, Итак, скалярное произведение вектора на самого себя равно свойства перпендикулярных векторов длины вектора. В частности, Так как векторы попарно перпендикулярны, то Теперь выполним умножение векторных многочленов: Подставляя в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов, получим Получаем формулу угла между двумя векторами: Пример 5. Даны три точки A 1;1;1B 2;2;1C 2;1;2. Находим координаты векторов:. По формуле косинуса угла между векторами получаем: Следовательно. Даны два вектора и Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними. Угол между и : Пример 7. Среди векторов Найти а коллинеарные; б ортогональные. Для векторов и : Равенство не выполняется. Для векторов и : Равенство выполняется. Для векторов и : Равенство не выполняется. Таким образом, коллинеарны векторы и. Таким образом, ортогональны векторы и и.

См. также